いけ数「1対1対応」

数学をやるうえで結構大切なんだけど、学校の授業では深く触れない気がしたので。

要するに、「片方の要素と他方の要素が、ダブりや余りがなく、1対1で対応する」というもの。
これは数学の言葉で「全単射(全単写)」と言います。集合論で出てくる概念ですね。
具体例を挙げると、ものを数えるときに指を折るのは、数えているものを指に対応させているということです。
重複や数え忘れがなくて親指・人差し指・中指・薬指と曲がっていけば、ものの数も曲げた指の本数と同じ4個となります。みたいな感じ。

大昔、たとえ算数の教養が無くても、羊飼いは自分の羊を放牧に出して、ちゃんと全部帰ってきたか確認できたそうです。
その方法は、羊を出すときに柵の柱に1頭出ていったら1つの印を付けます。
羊が帰ってきたときはその印を順にチェックしていき、全部帰ってきたら全部の印をチェックすることができると。
まあ、これが数学の本でよく出てくる1対1対応の例。

他にも、森の木を数えるときに、初めに例えば1000本のロープを用意して木に1本ずつ結んでいき、全部の木に結び終えたあと残ったロープの本数を数えれば木の数がわかるとか。これは豊臣秀吉がやらせた方法だったかな。
まあ、この例はロープの余りが出てるから全単射ではないとも言えるけど、結んだロープの本数と木の本数が「1対1対応」です。


まあ、こんな感じに異なるものを1対1に対応させて、数えにくいものを数えやすくするとか、分かりにくいものを分かりやすくするとかで使います。
もちろん他に「1対多」「多対1」「多対多」もあります。
わかりやすいのは関数ですかね。
一次関数は1つのxの値に対して1つのyの値が決まりますから「1対1」。
二次関数は1つのxの値に対しては1つのyの値が決まりますが、1つのyの値に対して2つのxの値が対応する場合があるので、「多対1」になります。
等々。

分かりにくい問題でも、分かりやすいものに対応させることができれば簡単に解けるようになるかと。

数学の世界では数直線がいい例でしょうか。
「数の集まり」を「直線上の点の集まり」に対応させたのが数直線です。
1つの「数」は、数直線上の1つの「点」に対応します。逆もまたしかり。
異なる位置にある点は異なる数に対応し、点と点の間の距離は対応する数の差になります。

難しいことをやると平面も空間も直線と1対1にできるそうです。


昔の人は文字式の展開を長方形の面積として考えたらしい。
(x+a)(x+b)=x^2 +ax +bx +ab
は縦が(x+a)、横が(x+b)の長方形を考えて、4つの長方形に分割して考えて、x^2の正方形と、a×xの長方形と、x×bの長方形と、a×bの長方形ができるから、この長方形全体の面積は云々。
これも掛け算と面積の対応か?

ざっとでアバウトすぎますが、思いつきで書いているもんですから。
本当に大切なことなんだけど、いざ分かりやすく説明しようと思うと難しい。
概念的なことは「全単射」で調べればいいんだけど、具体例となると結構難しい。
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